個別指導塾 学習空間 埼玉エリア入間藤沢&上尾西教室の花岡です。
三角形の合同条件や相似条件を用いた証明問題は、多くの中学生を悩ませていることでしょう。
今回私は、そんな証明問題のアプローチについて書きたいと思います。
まず早速、証明問題の大前提ですが、
「結論を述べたいものについて調べる。」
ということです。
一見当たり前のことですが、これがわかっていない生徒も多いのです。
証明問題を考えるときに、とりあえず「合同そうな2つの三角形を視覚的に」探していませんか?
まずここで一考を。
極端な例ですが、AB=CDという結論を導きたいのに、△EFGと△HIJの合同を証明しても意味がないですよね。
なので、まずは△AB○と△CD○を探す。
つまり、
①結論を含む2つの三角形に着目する。
というのが超大切ということになります。
この視点がないと、証明は明後日の方向に進んでいってしまいます。
次に、その2つの三角形についてわかっていることを調べる段階ですが、
ほぼすべての問題で、「仮定」が1つないし2つ与えられています。あとは、「共通(=辺や角が重なっているところ)」を探します。そして大抵は、残りの1つ(二等辺三角形や平行四辺形、平行線の「性質」や円周角の「定理」等)を見つけるのが厄介というパターンです。
ここで確認しておきたいのですが、
三角形の合同を根拠にする問題では、その三角形について調べるべきものは、
【辺3組】か、
【辺2組とその間の角1つ】か、
【辺1組とその両端の角2つ】
(※実は必ずしも両端である必要はないんですが、そのことは今は述べません。気になったら塾の先生にきいてみよう!)
のいずれかです。
ということは、
どんな問題でも「等しい辺や角を3組探せばよい。」のです。
で、先述の通り、そのうちの2組はほとんど与えられています。なので、残りの1組を探せばいいのですが、この時やみくもに探してはいけません 。
例えば、仮定等で辺1組と角1組が与えられていたとすると、
「3組の辺がそれぞれ等しい」という合同条件はほぼ間違いなく使わないのです。
つまり、
②合同条件を絞りこむことによって、等しい辺や角を限定する。
という視点を持ちましょう。
ようするに、
△ABCと△DEFにおいて、
AB=DEと∠B=∠Eが導けていたら、
あとは、
「BC=EF」(これで2組の辺とその間の角)か、
「∠A=∠D」(これなら1組の辺とその両端の角)のいずれかに着目すればよいのです。
この2つの視点を持つことで、大分重点的に図形を見ることができるはずです。
最後にこれも大切なことですが、
【出題されている以上、解けない問題はない!】のです。
なので、
③「絶対に上から目線で挑むこと。」
嫌いな数学になんか負けてたまるか!!
的なスピリッツを証明問題にぶつけてくださいな。
以上、証明問題のアプローチについてでした。